Cours introductif (Lie)

Introduction aux groupes et algèbres de Lie

Jean-François Dat

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Présentation

Un groupe de Lie est une variété différentielle munie d'une loi de groupe différentiable. Cette notion englobe en particulier tous les groupes matriciels classiques (linéaires, orthogonaux, unitaires, symplectiques) dont l'importance est fondamentale de la théorie des nombres à la physique des particules. Lorsque l'on différentie l'application de conjugaison $(g,x)\mapsto gxg^{-1}$, on obtient sur l'espace tangent en l'origine une application bilinéaire appelée "crochet de Lie". Un espace vectoriel muni d'un tel crochet est appelé "Algèbre de Lie". Beaucoup de propriétés topologiques ou algébriques des groupes de Lie se lisent sur leurs algèbres de Lie. Cependant, l'étude de ces objets relève de l'algèbre linéaire, donc se révèlera beaucoup plus simple que celle des groupes.

Contenu

• Sous-groupes fermés de ${\rm GL}_n(\mathbb R)$ et application exponentielle.
• Groupes de Lie "abstraits". Algèbre de Lie d'un groupe de Lie et applications.
• Structure des algèbres de Lie : algèbres résolubles, nilpotentes, semi-simples. Forme de Killing
• Algèbre enveloppante, théorème de Poincaré-Birkhoff-Witt
• Structure et classification des algèbres de Lie semis-simples. Sous-algèbres de Cartan, systèmes de racines, groupe de Weyl.
• Représentations des algèbres de Lie semi-simples

Prérequis

Bibliographie

• N. Bourbaki : Groupes et algèbres de Lie, Hermann 1968
• R. Carter : Lie algebras of finite and affine type, Cambridge 2005
• J. Humphreys : Introduction to Lie algebras and representation theory, Springer, 1978
• J.-P. Serre : Algèbres de Lie semi-simples complexes, Benjamin 1966
• J.-P. Serre : Lie algebras and Lie groups, Benjamin 1965
• C. Procesi : Lie Groups: An Approach Through Invariants and Representations (Universitext) Springer 2006