Cours spécialisé (TN)

Systèmes Eulériens

Christophe Cornut

Contact : cornut à math.jussieu.fr

Pas de notes de cours prévues.

Présentation

Les systèmes eulériens ont été inventés il y a un peu plus de 20 ans par Kolyvagin. Ce sont des objets intermédiaires entre les fonctions $L$ (dont ils reflètent les facteurs locaux) et les groupes de Selmer (dont ils contrôlent précisément la structure). Il y a très peu d'exemples connus et le formalisme qui les décrit est encore insatisfaisant, malgré des progrès dus à Mazur et Rubin. Les concepts essentiels de la méthode de Kolyvagin sont cependant bien compris. Nous en illustrerons la puissance avec le plus accessible des systèmes eulériens, celui des unités cyclotomiques.

Contenu

• Cohomologie des représentations Galoisiennes, théorèmes de dualité et groupes de Selmer
• Systèmes eulériens et Systèmes de Kolyvagin
• Corps de nombres: groupe d'unités, groupe de classe d'idéaux et fonction zeta
• Unités cyclotomiques, conjecture de Gras, conjecture principale d'Iwasawa

Prérequis

Bibliographie

• Karl Rubin. Euler Systems. Annals of Mathematics Studies, Princeton University Press n 147
• Barry Mazur et Karl Rubin. Kolyvagin Systems. In: Mem. Amer. Math. Soc. 168 (2004), n 799 http://people.math.jussieu.fr/~cornut/ES/Ref/KolySys.pdf
• Barry Mazur et Karl Rubin. Introduction to Kolyvagin Systems. In: Contemp. Math., n 358, Amer. Math. Soc. (2004) http://people.math.jussieu.fr/~cornut/ES/Ref/IntroKolySys.pdf
• Karl Rubin. Euler Systems and Kolyvagin Systems. In: Arithmetic of L-functions, 449/499, IAS/Park City Math. Ser., 18, Amer. Math. Soc. (2011) http://people.math.jussieu.fr/~cornut/ES/Ref/ESandKS.pdf