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Ce cours est la suite du cours introductif de même intitulé. Le but du premier cours était de donner une preuve du théorème de Friedrichs-Kato-Lax, qui affirme que pour le caractère bien posé du problème de Cauchy la symétrie est une condition suffisante, et qui date des années 60-70. Le but de ce second cours est de donner une preuve du théorème de Métivier, qui affirme que l'hyperbolicité est une condition nécessaire, et qui date seulement de 2005. Ces résultats seront illustrés par des exemples issus de la physique (équations d'Euler et de Navier-Stokes, équations de Maxwell). Au passage, je développerai en détail une théorie des calculs pseudo- et para-différentiels, dont l'usage va bien au-delà de l'analyse du problème de Cauchy.