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Je parlerai du problème de Cauchy pour des systèmes d'équations d'évolution de type quasi-linéaire. C'est une classe de systèmes qui contient une grande partie des équations de la mécanique des fluides et de l'optique.
Etant donnée une condition initiale qui satisfait des conditions d'intégrabilité, correspondantes à des conditions de finitude de grandeurs physiques (typiquement l'énergie), on se demande si le problème de Cauchy a une unique solution, c'est-à-dire si les équations sont propres à décrire l'évolution déterministe d'un système physique: si le système est dans un état donné à l'instant initial, peut-on garantir qu'il sera dans exactement un état pour des temps ultérieurs ? La notion de problème bien posé, au sens de Hadamard, requiert, en plus de l'existence et de l'unicité d'une solution, l'existence et la régularité d'un flot, de sorte qu'un problème bien posé est un problème ``stable" en un sens assez général: un problème dont les solutions sont potentiellement observables, et susceptibles d'être simulées numériquement.
On dispose pour les systèmes quasi-linéaires d'une théorie assez complète pour le caractère bien posé du problème de Cauchy, qui prolonge en quelque sorte la théorie de Cauchy-Lipschitz pour les équations différentielles ordinaires: une condition suffisante (symétrie des flux), et une condition nécessaire (hyperbolicité, c'est-à-dire réalité du spectre du symbole principal). Ces conditions sont relativement proches, et c'est en ce sens que la théorie est assez complète.
Le but de ce premier cours est de donner une preuve du théorème de Friedrichs-Kato-Lax, qui affirme que pour le caractère bien posé du problème de Cauchy, la symétrie est une condition suffisante, et qui date des années 60-70. Ces résultats seront illustrés par des exemples issus de la physique (équations d'Euler et de Navier-Stokes, équations de Maxwell).