Université Pierre & Marie Curie (Paris VI) — Faculté de Mathématiques — Master Mathématiques et Applications
Cours spécialisé

Statistiques spectrales des opérateurs aléatoires dans le régime localisé

Frédéric KLOPP

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Présentation

Ce cours se veut une présentation de résultats récents sur les statistiques spectrales des opérateurs aléatoires dans le régime localisé par le biais du modèle le plus simple, le modèle d'Anderson.

Introduits en physique de la matières condensée dans les années 50, les opérateurs aléatoires modélisent la propagation des électrons dans un milieu désordonnée. L'hypothèse stochastique se justifie par la présence homogène d'impuretés dont seules sont connues des caractéristiques macroscopiques comme la densité.

Le caractère aléatoire et homogène du potentiel confère aux opérateurs aléatoires de nombreuses propriétés intéressantes, en particulier, une propriété d'ergodicité qui assure que, de nombreux points de vue, la famille d'opérateur se comporte comme un opérateur unique. Cette liberté est alors exploitée pour l'étude de ces opérateurs.

L'une des caratéristiques de ces modèles est la présence d'un régime localisé i.e. d'intervalles dans le spectre qui ne sont constitués que de spectre ponctuel et tel que les fonctions propres associées aux valeurs propres dans ces intervalles sont à décroissance exponentielle. Dans ces intervalles, le cours de propose d'étudier les caractéristiques statistiques de ces valeurs propres et des vecteurs propres associés.

L'analyse des opérateurs aléatoires se situe aux confins de plusieurs domaines des mathématiques, la théorie spectrale et celle des probabilités, bien sûr, mais aussi de l'analyse harmonique et de la théorie des équations aux dérivées partielles.

Contenu

  1. Une introduction aux opérateurs aléatoires.
    1. Quelques modèles issus de la physique de la matière condensée.
    2. L'ergodicité et ses conséquences
    3. La densité d'états intégrée.
  2. Des estimées sur les valeurs propres.
    1. L'estimée de Wegner et ses conséquences.
    2. L'estimée de Minami.
    3. Des estimées de décorrélation.
  3. Une description du régime localisé
    1. La phénoménologie et un méta théorème.
    2. L'analyse multi-échelle.
    3. La méthode des moments fractionnaires.
  4. Les statistiques spectrales
    1. Les statistiques locales dans le spectre
    2. L'ergodicité asymptotique et la distibution des espacement de niveaux dans le spectre.
    3. Le cas des bords du spectre.

Prérequis


Prérequis : une bonne connaissance de l'analyse réelle et complexe, ainsi que de l'analyse fonctionnelle, de la théorie spectrale et d'??l??ments de théorie des probabilités est requise.

Bibliographie

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