Cours fondamental

Algèbres de Lie de dimension infinie et représentations II

David HERNANDEZ

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Présentation

Le but de ce cours est d'étudier les analogues de dimension infinie (et quantiques) des algèbres de Lie, ainsi que leurs représentations et applications. On portera une attention particulière aux algèbres affines et à leurs représentations. On étudiera notamment la catégorie de Drinfeld et le produit de fusion.

Plan

1. Algèbres affines et de lacets. Isomorphisme entre les présentations des algèbres affines. Algèbres de Virasoro et de Heisenberg. Racines réelles, racines imaginaires. Représentations de dimension finie et polynômes de Drinfeld.
2. Produit de fusion. Lemme de Schur, niveau. Catégorie O_k et produit de fusion sur O_k via l'espace des fonctions méromorphes sur P_1(C).
3. Blocs conformes et équation de Knizhnik-Zamolodchikov. Lien avec la théorie conforme des champs de Wess-Zumino-Witten et le produit de fusion. Opérateurs d'entrelacement et solutions de l'équation de Knizhnik-Zamolodchikov.
4. Catégorie de Drinfeld et groupes quantiques. Catégorie tensorielle de Drinfeld. Groupes quantiques et représentations (type fini). Equivalence des catégories.
5. Algèbres affines quantiques Présentation de Drinfeld. Représentations de dimension finie. Anneau de Grothendieck et q-caractères.

Bibliographie

• V. Chari and A. Pressley, A guide to quantum groups, {Cambridge University Press, Cambridge, 1995.}
• P. Etingof, I. Frenkel and A. Kirillov, Lectures on representation theory and Knizhnik-Zamolodchikov equations, {Mathematical Surveys and Monographs, 58. American Mathematical Society, Providence, RI, 1998.}
• E. Frenkel and D. Ben-Zvi, Vertex algebras and algebraic curves, Second edition, Mathematical Surveys and Monographs, 88, American Mathematical Society, Providence, RI (2004)}
• E. Frenkel, Langlands correspondence for loop groups, {Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 103. Cambridge University Press, Cambridge, 2007}
• D. Hernandez, An Introduction to Affine Kac-Moody Algebras , {CTQM Master Class Series 2 (2006), 1--20}, {http://www.math.jussieu.fr/$\sim$hernandez/resumedan2.pdf}
• J. Humphreys, Introduction to Lie algebras and representation theory, {Graduate Texts in Mathematics, 9. Springer-Verlag, New York-Berlin, 1978}
• V. Kac, Infinite-dimensional Lie algebras, {Cambridge University Press, Cambridge, 1990.}
• J-P. Serre, Lie algebras and Lie groups, 1964 lectures given at Harvard Uni- versity, Lecture Notes in Mathematics, 1500, (2006)