Université Pierre & Marie Curie (Paris VI) — Faculté de Mathématiques — Master Mathématiques et Applications
Cours fondamental

Inégalités de convolution de Brascamp-Lieb

D. CORDERO-ERAUSQUIN

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Présentation

Les inégalités de Brascamp-Lieb généralisent les inégalités de convolution d'Young à un m-uplet de fonctions, et ce de façon optimale (c'est-à-dire avec des constantes optimales et avec la détermination des fonctions extrémales, en l'occurrence des gaussiennes). On peut aussi voir ces inégalités comme des formes généralisées de l'inégalité de Hölder pour des fonctions vivant sur des sous-espaces. Par exemple, un cas particulier connu sous le nom d'inégalité de Loomis-Whitney permet de majorer le volume d'un ensemble de R^n par le produit des mesures de ses projections sur les hyperplans de coordonnées. Le but de ce cours est de présenter diverses méthodes permettant d'attaquer ces inégalités, méthodes par ailleurs utiles pour d'autres problèmes d'analyse harmonique. En particulier, nous étudierons :

  1. le réarrangement décroissant de fonctions (symétrisations)
  2. la méthode du semi-groupe de la chaleur (évolution monotone)
  3. la paramétrisation d'intégrales par transport optimal de mesure (au moins en dimension 1)
  4. la méthode de tensorisation et des invariances
En cours de route, nous présenterons des applications géométriques ainsi que le pendant entropique de ces inégalités (sous-additivité de l'entropie, inégalité de Shannon-Stam, hypercontractivité du semi-groupe de Hermite). Si le temps le permet, nous nous intéresserons à des inégalités voisines que l'on peut traiter avec les méthodes décrites ci-dessus, telles que les inégalités de Sobolev optimales et les inégalités de Hardy-Littlewood-Sobolev optimales. Enfin, nous aborderons peut-être aussi des développements récents (dus à Bennett, Carbery et Tao) liés à la conjecture de Kakeya.

Prérequis

Familiarité avec les notions fondamentales de l'Analyse (en particulier avec l'intégration). Il est aussi conseillé d'avoir suivi le - ou au moins de connaître une bonne partie du - cours Fondamental I d'A. Cohen.

Bibliographie