Géométrie diophantienne

Daniel Bertrand

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Présentation

De nombreuses équations en nombres entiers se ramènent à létude de points ``spéciaux" sur des variétés algébriques. Dire qu'elles n'ont qu'un nombre fini de solutions revient alors à dire que ces points spéciaux se concentrent sur des sous-variétés elles-mêmes ``spéciales", et c'est ce qu'affirme un faisceau de conjectures, regroupées sous le nom de conjecture de Zilber-Pink. Le cours portera sur une nouvelle approche de cette conjecture, récemment développée par Zannier, Pila et Masser, et qui permet d'en traiter de nombreux cas. Elle combine des outils classiques de géométrie diophantienne (hauteurs et degrés) avec des notions de théorie des modèles (o-minimalité) et de théorie de Galois différentielle.

Contenu

Groupes algébriques commutatifs : les conjectures de Manin-Mumford et de Mordell-Lang.
Points spéciaux des vari'etés de Shimura : la conjecture d'André-Oort.
Hauteurs et degrés.
Points rationnels sur les variétés analytiques : structures o-minimales, théorèmes de Bombieri, Pila, Wilkie.
La connexion de Gauss-Manin: monodromie, groupes de Galois différentiel.
Vers la conjecture de Zilber-Pink : les preuves de Zannier, Pila et Masser.

Prérequis

Notions de base en arithmétique (cours de J-F. Dat).
Bonne connaissance des courbes elliptiques (cours de J. Nekovar),
En ce qui concerne les variétés abéliennes, les courbes modulaires et la o-minimalité, les notions utiles seront énoncées sans démonstration.

Bibliographie

Séminaire Bourbaki 2010-2011 : exposés No 1032, par A. Chambert-Loir, et No 1035, par T. Scanlon.
J. Pila : O-minimality and the André-Oort conjecture; Annals of Math., 2011, 173, 1779-1840 .
U. Zannier : Some Problems of Unlikely Intersections in Arithmetic and Geometry , (with appendices by David Masser); Princeton UP (à paraître).
Pour aller plus loin : poly du cours de 2010-2011 de C. Cornut sur les variétés de Shimura.