Cours introductif

Introduction aux surfaces de Riemann

Nicolas BERGERON et Antonin GUILLOUX

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Présentation

L'objectif de ce cours est de proposer une introduction aux divers aspects algébriques, analytiques et géométriques d'un des objets les plus riches et les plus importants des mathématiques, qui est la source de plusieurs domaines de la recherche contemporaine.

Contenu

1. Définition. Variétés complexes de dimension 1. Exemples du plan complexe, de la sphère de Riemann et du demi-plan supérieur. Courbes elliptiques.
2. Courbes algébriques et surface de Riemann associées ; surface de Riemann associée à une fonction analytique, exemple du log.
3. Surfaces de Riemann obtenues comme quotients, énoncé du théorème d'uniformisation.
4. Algébricité des surfaces de Riemann compactes abstraites qui possèdent une fonction méromorphe. Théorème de Belyi.
5. Quelques aspects topologiques : genre, triangulation, formule de Riemann-Hurwitz, H_1 et relations bilinéaires de Riemann.
6. Surfaces de Riemann vues comme surfaces riemanniennes : métriques, champs de vecteurs / écoulement, lemme de Weyl (un peu de théorie de Hodge).
7. Théorème de Riemann-Roch.
8. Espace des modules grossier.

Prérequis

Analyse complexe de M1 et bases de topologie et d'analyse réelle.

Bibliographie

• Reyssat, Quelques aspects des surfaces de Riemann.
• Bost, Introduction to compact Riemann surfaces, Jacobian and Abelian varieties, dans From number theory to physics, Springer.
• Henri-Paul de Saint-Gervais, Uniformisation des surfaces de Riemann. Retour sur un théorème centenaire. (En téléchargement gratuit sur internet.)