Géométrie Algébrique 2

Matthieu ROMAGNY

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Présentation

Ce cours portera principalement sur les notions de morphismes plats, lisses et étales. Ces notions sont fondamentales pour étudier la géométrie des schémas eux-mêmes, mais aussi car elles fournissent de nouvelles notions de localisation, donnant naissance à des topologies incontournables dans bien des questions de géométrie algébrique ou arithmétique. Nous illustrerons ces concepts en étudiant les schémas en groupes et les torseurs sous ceux-ci, avec de nombreux exemples.
Pour compléter le bagage de géométrie algébrique de base, on fera aussi un petit tour d'horizon des différentes notions liées aux diviseurs et aux fibrés en droites.

Contenu du cours

1. Morphismes plats, non ramifiés, lisses, étales

1.1. Platitude
1.2. Différentielles
1.3. Régularité
1.4. Morphismes lisses
1.5. Morphismes non ramifiés et étales

2. Diviseurs et faisceaux inversibles

2.1. Diviseurs de Weil
2.2. Diviseurs de Cartier
2.3. Faisceaux inversibles et groupe de Picard

3. Schémas en groupes et torseurs

3.1 Exemples
3.2 Schémas en groupes lisses
3.3. Schémas en groupes finis et plats
3.4. Topologie étale et topologie plate
3.5. Torseurs

Prérequis

On suppose connues les notions suivantes :

anneaux commutatifs locaux, artininiens, noethériens, normaux (= intégralement clos), factoriels.
schémas réduits, irréductibles, intègres, noethériens, produits fibrés.
morphismes d'immersion, finis, de type fini, plats, affines, projectifs, propres, séparés.
faisceaux de modules : images inverses et directes. Faisceaux (quasi-)cohérents.
dimension d'un anneau et d'un schéma.

Bibliographie

Hartshorne, Algebraic Geometry, Springer.
Liu, Algebraic Geometry and Arithmetic Curves, Oxford University Press.
Matsumura, Commutative Ring Theory, Cambridge University Press.
Grothendieck et al., Revêtements étales et groupe fondamental (SGA1), SMF.
Milne, Étale Cohomology, Princeton University Press.