Cours fondamental

Géométrie de la théorie quantique des champs

F. Paugam

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Résumé

Le but de ce cours est de présenter sans coordonnées (quand c'est possible) les outils nécessaires à la description des modèles mathématiques de la physique des particules. L'objectif est de donner aux etudiants en mathématiques sans connaissance physique préalable la possibilité d'interagir avec des physiciens théoriciens, ainsi qu'une ouverture vers les rapports entre géométrie et physique mathématique.

Contenu

1. Présentation des outils de la géométrie différentielle et de la super-géométrie permettant de formaliser succintement le calcul différentiel sur les fonctionnelles non locales.
2. Présentation du calcul fonctionnel local et de la version algébrique de la théorie variationnelle, utilisant le formalisme des jets. On décrira l'espace des phases covariant.
3. Description de plusieurs exemples physiques: mécanique classique et fermionique, Relativité, formalisme de Cartan, électromagnetisme, Dirac, Klein-Gordon, Yang-Mills avec matière.
4. Solutions fondamentales des opérateurs différentiels à coefficients constants.
5. Quantification par l'intégrale fonctionnelle, en utilisant l'équation de Dyson-Schwinger.
6. Méthode BV de reduction symplectique homologique.
7. Présentation succinte des méthodes de renormalisation, avec notamment la formulation de Connes-Kreimer de la renormalisation BPHZ, et celle de Costello de la méthode de l'action effective à la Wilson.

Prérequis

Bibliographie

• Les notes de cours contiennent une liste exhaustive de références.