Cours fondamental

Formules d'homotopie pour l'opérateur ∂ sur les variétés projectives et applications.

Gennadi HENKIN

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Résumé

Le cours présente la technique des formules d'homotopie pour ∂ sur les variétés projectives et des applications en géométrie complexe, EDP et physique mathématique.

• ∂ -équations sur $\C^n$ et sur les surfaces de Riemann. Formules de Cauchy-Pompeiu et de Grothendieck. Théorème de Hartogs. Théorème de Dolbeault (Bibl. 2,7)
• Formule de Cauchy-Leray. Fonctionnelles analytiques. Théorème de Fantappie-Martineau (Bibl.3)
• Formules d'homotopie pour $\bar\pa$ sur l'intersections complètes dans les domaines convexes et concaves de ${\C}P^n$ (Bibl.5)
• Version explicite de la décomposition de Hodge-Riemann sur les surfaces de Riemann (Bibl.2,4)
• Représentation des solutions EDP par transformation d'Abel-Radon des courants résiduels dans les domaines concaves (Bibl.3)
• Problème de Plateau complexe dans ${\C}P^n$. (Bibl.3)
• Structures complexes sur les surfaces réelles induites par des métriques riemannienes ou par des tenseurs de conductivité. Équation de Beltrami (Bibl.1,6)
• La reconstitution du tenseur de conductivité d'une surface à bord dans $\R^3$ (à partir de mesures électriques sur le bord) à l'aide de formules pour $\bar\pa$ (Bibl.6,8)

Prérequis

Bibliographie

1. Ahlfors L.: Quasiconformal Mappings, Van Nostrand, 1966
2. Griffiths H., Harris J.: Principles of algebraic geometry, John Wiley, 1978
3. Henkin G.: The Abel-Radon transform and several complex variables, Ann. of Math. Studies, Princeton Univ. Press, 1995, 223-275
4. Henkin G.: Cauchy-Pompeiu type formulas for $\bar\pa$ on affine algebraic Riemann surfaces and some applications, Proceedings of the conference on "Perspectives in Analysis, Geometry and Topology", Birkhauser's Progress in Math. series, (to appear) (arXiv: 0804.3761 (2010) v.2)
5. Henkin G., Polyakov P.: Homotopy formulas for the $\bar\pa$- operator on ${\C}P^n$ and the Radon-Penrose transform, Math.USSR Izvestiya, 28(3), 1987, 555-587
6. Henkin G., Novikov R.: On the reconstruction of conductivity of bordered two-dimensional surface in $\R^3$ from electrical currents measurements on its boundary, J.Geom.Anal. (to appear) (arXiv:1003.4897 (2010) v.1)
7. Hörmander L., An introduction to complex analysis in several variables, Elsevier, New York, 1973
8. Novikov R.: Multidimensional inverse spectral problem for the equation $-\Delta\psi+(v-Eu)\psi=0$, Funct.Anal.Appl. 22, 1988, 263-278