Cours fondamental
Opérateurs de Schrödinger quasi-périodiques :
aspects spectraux et dynamiques I
Hakan ELIASSON
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Présentation
La théorie du spectre des opérateurs de Schrödinger en dimension
1 avec des potentiels quasi-périodiques est un sujet qui a connu des
développements spectaculaires ces dernières années. Cela est en parti
dû à l'introduction de paradigmes et de méthodes venant de la
théorie des systèmes dynamiques. L'objectif de ce premier cours est d'introduire
les notions de théorie spectrale et de systèmes dynamiques
fondamentales à la compréhension du spectre de ces opérateurs.
Contenu
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Opérateurs quasi-périodiques : notions de base - solutions de Weyl – l’opérateur résolvant et la fonction de Green
- Hyperbolicité : le co-cycle de Schrödinger – SL(2,R) et SL(2,C) – la notion d’hyperbolicité - relation entre le spectre et l’hyperbolicité d’un co-cycle de Schrödinger – fonctions "m" de Weyl.
- La densité d’états et le nombre de rotation fibré : théorie de l'oscillation - "gap-labelling"
- L’exposant de Lyapunov : relations entre l’exposant de Lyapunov et la densité d’états - formule de Thouless – spectre absolument continu et spectre ponctuel
Prérequis
Analyse réelle et complexe, analyse de Fourier. Rudiments d’analyse fonctionnelle et de théorie spectrale. Le cours "Systèmes dynamiques I" est recommandé.
Références
- R. Carmona, J. Lacroix, Spectral theory of random Schrödinger operators, Birkhäuser, Boston 1990
- L. Pastur, A. Figotin, Spectra of random and almost-periodic operators, Springer-Verlag, Berlin 1992
- J. Bourgain, Green’s function estimates for lattice Schrödinger operators and applications, Princeton University Press, 2005