Cours fondamental

Introduction à la théorie des schémas

Antoine DUCROS

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Présentation

Le langage des schémas a éte introduit par Grothendieck (et son école) dans les années 50-60 avec en ligne de mire les conjectures de Weil ; il permet de manipuler des variétés algébriques sur un corps ou même un anneau quelconques, et est toujours le cadre de travail de la géométrie algébrique contemporaine. On peut par exemple, grâce à lui, étant donné un système d'équations S à coefficients dans Z, voir les variétés définies par S sur les différents corps F_p (par réduction modulo p des équations) ainsi que sur Q (en oubliant que les coefficients sont entiers) comme les fibres d'un certain morphisme, et donc penser à cette collection de variètés (dont le corps de définition varie) comme à une famille, au sens géométrique du terme.

Plan

1. Préliminaires : un peu de théorie des faisceaux, un peu d'algèbre commutative.
2. Spectre d'un anneau commutatif.
3. Définition d'un schéma ; morphisme de schémas.
4. Faisceaux de modules, faisceaux quasi-cohérents, faisceaux cohérents.
5. Schémas projectifs, morphismes projectifs.
6. Faisceau des différentielles, lissité.
7. Cohomologie des faisceaux quasi-cohérents.

Bibliographie

• L'introduction du livre " Éléments de géométrie algébrique", de Grothendieck et Dieudonné, chez Springer.
• Le livre "Algebraic Geometry" de R. Hartshorne, essentiellement le chapitre II, et peut-être une partie du chapitre III.