Cours spécialisé

Géométrie à courbure négative et rigidité

Gilles COURTOIS

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Présentation

Le but du cours est une introduction à la géométrie à courbure négative. Un exemple important est celui de la géométrie hyperbolique. Nous verrons par exemple une preuve élémentaire du théorème de rigidité de Mostow, (deux variétés hyperboliques compactes de dimension supérieure ou égale à 3 ayant des groupes fondamentaux isomorphes sont isométriques). Le théorème de Mostow est lié à la propriété de volume et d'entropie minimale des variétés hyperboliques compactes. Nous aborderons également des questions de croissance des groupes.

Contenu

1. Géométrie riemannienne à courbure négative, théorème de Cartan-Hadamard, bord à l'infini, isométries, ping-pong, groupes discrets d'isométries.
2. Construction de réseaux arithmétiques.
3. Lemme de Margulis, croissance des groupes.
4. Mesures de Patterson-Sullivan, problèmes de comptage.
5. Rigidité de Mostow.
6. Entropie volumique, entropie topologique, entropie minimale, exemples des surfaces des variétés hyperboliques et des solvariétés.
7. Croissance des groupes, croissance uniforme.

Prérequis

Bibliographie

• W. Ballmann, M. Gromov, V. Schroeder, Manifolds of non positive curvature Birkhauser 1985.
• R. Benedetti, C. Petronio, Lectures on hyperbolic geometry, Universitext, Springer Verlag, 1992.
• M. Kapovich, Hyperbolic manifolds and discrete groups, Progress in Math 183, Birkhauser Boston 2001.