Cours spécialisé

Analyse fonctionnelle et géométrie de la théorie quantique de l'information

S. SZAREK

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Objectif

L'objectif de ce cours est de donner une introduction à la théorie quantique de l'information (ou informatique quantique) et de présenter des notions et une sélection de résultats d'analyse fonctionnelle et de géométrie convexe aussi bien classiques que récents - jusqu'aux problèmes de recherche - qui sont pertinents dans cette théorie.

Contenu

• Géométrie convexe classique (rappels et développements), en particulier: inégalités du type Brunn-Minkowski, Urysohn, Blaschke-Santaló, isopérimétrie, concentration de la mesure etc.
• Analyse fonctionnelle (rappels et développements): algèbres d’opérateurs, états, applications complètement positives, idéaux classiques d'opérateurs, inégalité de Grothendieck et ses versions non-commutatives, produits tensoriels d' espaces normés, distance de Banach-Mazur.
• Variables gaussiennes et éléments de la théorie des matrices aléatoires
• Eléments de la théorie de l'information et de la communication classique (y compris de la théorie de Shannon), et de sa version non-commutative. Codes auto-correcteurs, liens avec recouvrements et empilements, l’entropie métrique et sa dualité.
• Rappel des paradigmes de la mécanique quantique et introduction à la théorie quantique de l'information: états quantiques purs et mixtes, superpositions, matrices densités, intrication, séparabilité, opérations quantiques, correction d'erreurs quantiques, et les liens de ces notions avec les objets mathématiques.
• Une sélection de résultats dans le cadre de la théorie quantique de l'information faisant appel à l’analyse fonctionnelle et à la géométrie convexe.

Prérequis

Bibliographie

1. An Elementary Introduction to Modern Convex Geometry, by Keith M. Ball, in Flavors of Geometry, MSRI Publications, Vol. 31, pp. 1-58
2. H. Brezis, Analyse fonctionnelle : Théorie et applications, Dunod 2005, 233 pp.
3. Handbook on the Geometry of Banach spaces, W. B. Johnson, J. Lindenstrauss eds., Elsevier Science 2001, 2003. En particulier, le chapître Local operator theory, random matrices and Banach spaces par K. R. Davidson, S. J. Szarek, Vol. 1, pp. 317-366 et le chapître Concentration, results and applications par G. Schechtman, Vol. 2, pp.1603-1634
4. Hiai, Fumio, Petz, Dénes, The semicircle law, free random variables and entropy. Mathematical Surveys and Monographs, 77. American Mathematical Society, Providence, RI, 2000, x+376 pp.
5. R. V. Kadison, J. R. Ringrose, Fundamentals of the theory of operator algebras, vol. I, AMS 1997 (chapîtres 1, 2, 4)
6. A. Yu. Kitaev, A. H. Shen, M. N. Vyalyi, Classical and Quantum Computation, AMS 2002, 272 p.
7. M. Ledoux , The concentration of measure phenomenon, AMS, 2001
8. Nielsen, M. A.; Chuang, I. L., Quantum computation and quantum information. Cambridge University Press, Cambridge, 2000. xxvi+676 p.
9. G. Aubrun, S. J. Szarek, Tensor products of convex sets and the volume of separable states on N qudits, Phys. Rev. A. 73, 022109 (2006)
10. P. Hayden, D. W. Leung, A. Winter, Aspects of generic entanglement. Comm. Math. Phys. Vol. 265, No. 1, pp. 95-117, 2006.
11. P. Hayden, A. Winter, Counterexamples to the maximal p-norm multiplicativity conjecture for all p > 1, Comm. Math. Phys. 284(1):263-280, 2008
12. M. B. Hastings, A Counterexample to Additivity of Minimum Output Entropy, Nature Physics 5, 255 (2009)
13. S. J. Szarek, E. Werner, K. Zyczkowski, Geometry of sets of quantum maps: a generic positive map acting on a high-dimensional system is not completely positive, J. Math. Phys. 49, 032113-21 (2008)