Algèbres de Hall des courbes projectives lisses et Groupes Quantiques

O. SCHIFFMANN

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De quoi il s'agit

Il existe de nombreuses réalisations géométriques des ``groupes quantiques'' introduits par Drinfeld et Jimbo au milieu des années 80. L'une d'entre elles (via les algèbres de Hall) s'exprime en terme de fonctions sur un espace de modules de représentations d'un carquois. Lusztig en a par la suite donné une version ``catégorique'', où les fonctions sont remplacées par des faisceaux constructibles. Ceci l'amène a définir la notion de base canonique des groupes quantiques.

Il existe une théorie analogue (mais moins développée) où l'on remplace les espaces de modules de représentations de carquois par des espaces de modules de fibrés vectoriels sur des courbes lisses et projectives. Le but du cours est d'expliquer ces deux constructions et d'en donner des applications (bases canoniques des groupes quantiques, programme de Langlands géométrique,...)

Contenu

On espère aborder un sous-ensemble (propre !) des thèmes suivants:

Algèbre et catégorie de Hall d'une catégorie abélienne
Représentations de carquois
Groupes quantiques
Théorèmes de Ringel et Lusztig (sur les algèbres et catégories de Hall d'un carquois)
Algèbre de Hall des courbes projectives lisses
Courbes elliptiques et algèbres de Cherednik
Problème de Deligne-Simpson
Liens avec les séries et faisceaux d'Eisenstein, et programme de Langlands géométrique

Prérequis

Un minimum de géométrie algébrique (théorie des faisceaux, schémas) et de topologie algébrique. Notions de base sur les algèbres de Lie.

Références

I. Burban, O. Schiffmann, On the Hall algebra of an elliptic curve, I, preprint math.AG/0505148.
B. Crawley-Boevey, Lectures on representations of quivers, notes for a graduate course, available at www.amsta.leeds.ac.uk/~pmtwc/.
B. Crawley-Boevey, Indecomposable parabolic bundles and the existence of matrices in prescribed conjugacy class closures with product equal to the identity, Publ. Math. Inst. Hautes Études Sci. No. 100, 171--207, (2004).
M. Kapranov, Eisenstein series and quantum affine algebras, Algebraic geometry, 7. J. Math. Sci. (New York) 84, no. 5, 1311--1360, (1997).
G. Laumon, Faisceaux automorphes liés aux séries d'Eisenstein, Automorphic forms, Shimura varieties, and $L$-functions, Vol. I (Ann Arbor, MI, 1988), 227--281, Perspect. Math., 10, Academic Press, Boston, MA, (1990).
G. Lusztig, Introduction to quantum groups, Birkhauser (1992).
C. Ringel, Hall algebras and quantum groups, Invent. Math. 101, no. 3, 583--591, (1990).
O. Schiffmann, Lectures on Hall algebras, preprint arXiv (2007)
O. Schiffmann, Lectures on canonical and crystal bases of Hall algebras, preprint arXiv (2009)