Cours spécialisé

Algèbres de Hopf en combinatoire, physique et théorie des nombres

M. ROSSO

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Présentation

Il s’agit de donner des applications apparues récemment de la théorie des algèbres de Hopf à des domaines variés des mathématiques. C'est une suite logique du cours fondamental "Groupes algébriques et algèbres de Hopf".

Plan

1. Groupe des lacets dans GL(n) et décomposition de Birkhoff. Applications.
2. Algèbre de Hopf de Kreimer et renormalisation. Diagrammes de Feynman. Décomposition à la Riemann-Hilbert (Connes-Kreimer). Algèbres de Rota-Baxter.
3. Méthode de Runge-Kutta en analyse numérique et groupe de Butcher.
4. Polylogarithmes et fonctions zeta multiples. Algèbres quasi-shuffles. Fonctions symétriques non commutatives.

Prérequis

Bibliographie

1. Connes, Alain; Kreimer, Dirk Hopf algebras, renormalization and noncommutative geometry. Comm. Math. Phys. 199 (1998), no. 1, 203--242.
2. Connes, Alain; Kreimer, Dirk Renormalization in quantum field theory and the Riemann-Hilbert problem. I. The Hopf algebra structure of graphs and the main theorem. Comm. Math. Phys. 210 (2000), no. 1, 249--273.
3. Connes, Alain; Kreimer, Dirk Renormalization in quantum field theory and the Riemann-Hilbert problem. II. The beta-function, diffeomorphisms and the renormalization group. Comm. Math. Phys. 216 (2001), no. 1, 215--241.
4. Joni, S. A.; Rota, G.-C. Coalgebras and bialgebras in combinatorics. Umbral calculus and Hopf algebras (Norman, Okla., 1978), pp. 1--47, Contemp. Math., 6, Amer. Math. Soc., Providence, R.I., 1982.
5. Waldschmidt, Michel Introduction aux algèbres de Hopf pour des questions diophantiennes. (French) [Introduction to Hopf algebras for Diophantine problems] Ann. Sci. Math. Québec 28 (2004), no. 1-2, 199--218 (2005).