Cours fondamental
Introduction aux formes modulaires
L. Merel
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De quoi il s'agit
Considérons le développement en série du produit infini
Les formes modulaires, et plus généralement automorphes, servent à expliquer des phénomènes tels que les suivants.
1) La fonction L(s) de la variable complexe s donnée
par la série de Dirichlet
admet un
prolongement holomorphe au plan complexe.
2) Elle admet un produit Eulérien
où p parcourt les nombres premiers.
3) Elle admet une équation fonctionnelle : si on pose
on a
4) Lorsque p est un nombre premier, le nombre
est égal au nombre
d'éléments
vérifiant
et on a
On peut
voir les formes automorphes comme des machines qui produisent le nombre
de solutions des réductions modulo des nombres premiers
d'équations diophantiennes.
Contenu
Formes modulaires classiques : fonction Delta de Ramanujan, séries
d'Eisenstein, dimension des espaces de formes modulaires,
opérateurs de Hecke, approche algébrique par
la cohomologie des groupes arithmétiques, formes modulaires modulo p, structure de
l'algèbre de Hecke, exemples de lien avec le groupe de Galois.
Initiation au langage adélique. La thèse de Tate : analyse de Fourier
sur les corps locaux et globaux pour établir l'équation fonctionnelle
de fonctions généralisant la fonction zêta de Riemann.
Prérequis
Notions de base en théorie algébrique des nombres, comme dans le cours
de J. Nekovàr.
Références
- Serre, J.-P. Cours d'arithmétique
- Lang, S. Introduction to Modular Forms
- Miyake, T. Modular Forms
- Cassels, Fröhlich, eds Algebraic Number Theory.
- D. Ramakrishnan, R. Valenza. Fourier Analysis on Number
Fields.
