Intégrales singulières et inégalités classiques en analyse harmonique

N. LERNER

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Résumé

Ce cours est consacré aux inégalités classiques de l'analyse harmonique.

Fonction maximale, Théorème d'interpolation de Marcinkiewicz.
Inégalité de Hardy-Littlewood-Sobolev, Théorème d'injection de Sobolev.
Intégrales singulières et résultats de continuité L^p .
Espaces de Besov, Inégalités de Strichartz.

Prérequis

Analyse de Fourier, par exemple en suivant l'exposé du cours introductif précédent sur ce sujet et les notes Lecture Notes on Real Analysis à partir du chapitre 4.

Déroulement du cours

1. Théorème d'interpolation de Riesz
1.1. Le lemme des trois droites (Hadamard)
1.2. Interpolation de Riesz
1.3. Inégalité de Hausdorff-Young

2. Deux inégalités fondamentales
2.1. Inégalité de Young
2.2. Inégalité de Gagliardo-Nirenberg
2.3. Injections de Sobolev

3. La fonction maximale
3.1. Préliminaires
3.2. Propriétés de la fonction maximale
3.3. Le théorème de Marcinkiewicz
3.4. Démonstrations
3.5. Théorème de différentiation de Lebesgue

4. Inégalité de Hardy-Littlewood-Sobolev
4.1. Enoncé
4.2. Lemme de Calderón-Zygmund
4.3. Démonstration
4.4. Injections de Sobolev, une autre démonstration
4.5. Compléments sur les espaces de Besov

5. Intégrales singulières
5.1. Exemples
5.2. Multiplicateurs de Fourier
5.3. Intégrales singulières

6. Opérateurs pseudo-différentiels classiques et intégrales singulières
6.1. Symboles
6.2. Quantification, composition, asymptotique
6.3. Estimations L^p

Bibliographie

J. Duoandikoetxea, Fourier analysis, Graduate Studies in Mathematics, 29, American Mathematical Society, Providence, RI, 2001.
L. Hörmander, The Analysis of Linear Partial Differential Operators I, Springer-Verlag, 256.
C. Sogge, Fourier integrals in classical analysis, Cambridge Tracts in Mathematics, 105, Cambridge University Press, Cambridge, 1993.
E. M. Stein, Harmonic analysis: real-variable methods, orthogonality, and oscillatory integrals, with the assistance of Timothy S. Murphy, Princeton Mathematical Series, 43, Monographs in Harmonic Analysis, III, Princeton University Press, Princeton, NJ, 1993.