Cours fondamental
Théorie de Hodge et géométrie complexe kählérienne
A. HÖRING
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Résumé
Le but de ce cours est de donner une introduction à la géométrie complexe,
c'est-à-dire l'étude des variétés localement isomorphe à un ouvert
de C^n. Comme une variété complexe est aussi un espace topologique, il est
intéressant d'étudier les liens entre la structure complexe et la topologie.
La théorie de Hodge est un outil puissant qui fournit ces liens
entre géométrie et topologie. On verra que les résultats sont particulièrement pertinents dans le
cas des variétés kähleriennes compactes qui sont une classe assez large et très importante de
variétés complexes.
Les
thèmes abordés seront :
- Variétés complexes, cohomologie de Dolbeault
- Fibrés holomorphes, métriques hermitiennes, connexion de Chern
- Opérateur de Hodge, laplacien de Hodge-de Rham
- Variétés kählériennes, décomposition de Hodge
- Théorèmes d'annulation, plongement de Kodaira
Prérequis
Géométrie différentielle : variétés et formes differentielles, cohomologie de de Rham,
théorème de Stokes, fibrés vectoriels etc.
Le cours de V. Minerbe fournira ces prérequis. Il est également conseillé (mais pas indispensable) de suivre
les cours de E. Falbel ou N. Karpenko.
Références
- J.-P. Demailly : Complex analytic and algebraic geometry, accessible sur le site de
J.-P. Demailly.
- C. Voisin : Théorie de Hodge et géométrie algébrique complexe,
Cours spécialisés 10, SMF, 2002.
- R. O. Wells : Differential analysis on complex manifolds, Graduate
Texts in Mathematics 65, 1980.
Un polycopié sera disponible sur mon site.