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Le programme des modèles minimaux (MMP en anglais) est une approche de la classification des variétés algébriques qui a vu le jour au début des années 80 sous l'impulsion de Kawamata, Kollár, Mori, Reid, Shokurov parmi bien d'autres. L'objectif initial du MMP était de généraliser en toutes dimensions la classification birationnelle des surfaces obtenue pas les géomètres italiens au début du XXe siècle. Mais en découvrant son cadre naturel (relatif, pour des "paires") le MMP a donné lieu à une multitude d'outils extrêmement puissants et dont le cadre d'application a largement dépassé l'objectif initial de classifier les variétés en fonction de la positivité de leur fibré canonique. Parallèlement aux développements du MMP per se, la compréhension de la géométrie birationnelle des systèmes linéaires a elle aussi énormément progressé grâce entre autres aux travaux de Demailly, Ein, Lazarsfeld et Siu, et la convergence de ces deux points de vue a récemment permis à Hacon et McKernan d'accomplir des progrès décisifs en démontrant deux des conjectures centrales de la géométrie birationnelle.
Le but de ce cours est de proposer une introduction à ces résultats qui sont appelés à devenir absolument fondamentaux pour la géométrie algébrique. L'objectif principal n'est donc pas de donner une démonstration détaillée de tous les résultats connus du MMP (ce qui serait évidemment une gageure) mais plutôt d'expliquer la portée de ces résultats et d'apprendre à les utiliser. La première partie du cours traitera de la positivité des diviseurs en général, et la deuxième partie présentera les théorèmes de base du MMP, qui permettent de préciser considérablement le tableau de la première partie dans le cas diviseurs adjoints. Si le temps le permet, nous essaierons ensuite d'esquisser la démonstration de l'existence des flips, un des points clés des récents résultats de Hacon-McKernan.
Dans le cadre du M2 de Paris 7, Olivier Debarre donnera un cours davantage centré sur le point de vue "courbes rationnelles" du MMP. Suivre les deux cours en parallèle peut être très intéressant.