Cours spécialisé

Algèbres de Lie affines

U. RAY

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But

Les algèbres de Lie de dimension finie ont été à l'origine construites par S. Lie pour étudier les groupes de Lie. Elles sont devenues depuis des objets intéressants indépendamment du contexte des groupes avec de multiples applications. Il était donc naturelle de tenter de se débarasser de la restriction imposée par la condition "dimension finie" et de considérer des algèbres de Lie de dimension infinie.

En 1968, V. Kac et R. Moody ont indépendamment généralisé la classe des algèbres de Lie complexes semisimples de dimension finie et construit les algèbres de Lie connue aujourd'hui sous le nom algèbres de Kac-Moody. En 1988, R. Borcherds réalisa que le cadre naturel pour l'étude de ces algèbres de Lie est en fait plus large et construisit la classe des algèbres de Lie appelées maintenant algèbres de Borcherds-Kac-Moody ou algèbres de Kac-Moody généralisées. À part les algèbres de Lie complexes semisimples de dimension finie, d'autres exemples de cette classe d'algèbres de Lie jouent un rôle important en mathématiques dans le cadre de la théorie des groupes, des formes modulaires, de la combinatoire, de la théorie des invariants, des équations différentielles et en physique dans le cadre de la théorie des champs conformes, de la théorie des cordes et de la physique statistique. C'est en particulier le cas des algèbres de Lie affine. Le but de ce cours est de donner des bases mathématiques rigoureuses nécessaires pour comprendre celles-ci.

Sommaire

1. Rappel des propriétés fondamentales des algèbres de Lie semisimples complexes de dimension finie.
2. Généralisation : algèbres de Lie complexes Z-graduées ayant une forme bilinéaire symétrique, invariante, non-dégénérée et une involution généralisant l'involution de Chevalley, appelées algèbres de Borcherds-Kac-Moody (BKM). Leurs structures.
3. Structure des algèbres de BKM de type affine : racines réelles et imaginaires, groupe de Weyl.
4. Réalisation des algèbres de Lie affines non-tordues et tordues : algèbres de lacets et extensions centrales ; automorphismes du diagramme.
5. Une classe de représentation des algèbres de BKM : représentations intégrables de plus haut poids ; formule de caractère et formule du dénominateur.
6. Application : représentations intégrables de plus haut poids des algèbres de Lie affine. Représentations irréductibles et identités de Macdonald. Constuction de la représentation fondamentale basique.

Références

1. V.G. Kac, Infinite dimensional Lie algebras, Cambridge University Press, Third Edition
2. J. Fuchs, C. Schweigert, Symmetries, Lie algebras and Representations : A Graduate Course for Physicists, Cambridge Monographs on Mathematical Physics
3. M. Wakimoto, Lectures on Infinite Dimensional Lie Algebras, World Scientific
4. U. Ray, Automorphic forms and Lie superalgebras, Springer