Cours spécialisé

Espaces L_p, martingales et probabilités non-commutatives

G. PISIER

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Résumé

Ce cours est la suite naturelle du cours fondamental précédent sur les espaces L_p non-commutatifs.

La direction générale est une introduction aux probabilités non-commutatives en prenant les martingales (à temps discret) comme fil conducteur.

De nombreux exemples de filtrations (non-commutatives) seront donnés. On developpera tout particulièrement celles associées à l'espace de Fock, ce qui permettra de présenter parallèlement les relations canoniques d'anticommutation, de commutation et les versions déformées des mesures gaussiennes sur l'« espace de q-Fock » (-1≤ q≤ 1). Le cas gaussien classique (commutation) correspond alors à q = 1, le cas fermionique à q = -1 et le cas « libre » à q=0.

On rappellera d'abord les inégalités de martingales dans le cas classique, puis on présentera les travaux récents donnant des versions non-commutatives des inégalités fondamentales de Khintchine, de Burkholder-Gundy, ainsi que des inégalités maximales de Doob.

Les résultats seront illustrés par de nombreux exemples tirés des matrices aléatoires, de l'analyse fermionique (associée aux algèbres de Clifford ou aux système de spins), de la théorie des probabilités libres de Voiculescu, ou de l'analyse harmonique et des multiplicateurs de Fourier (=Herz-Schur) sur les groupes discrets non-commutatifs, comme par exemple le groupe libre à N>1 générateurs. On présentera aussi les opérateurs de Hankel dans S_p (Théorème de Peller), les inégalités d'hypercontractivité gaussiennes (Nelson-Beckner), fermioniques (Carlen-Lieb) et libres (Biane).

En analogie avec les ``transformations de martingales" on sera naturellement conduit à discuter aussi la transformée de Hilbert à valeurs Banach et certaines propriétés des espaces de Banach liées aux martingales comme la notion d' espace UMD (Burkholder-Bourgain).

Prérequis

Seules les notions de base sur le calcul des probabilités et sur les espaces L_p classiques sont requises. Il serait préférable d'avoir quelques notions sur la théorie des martingales classiques, mais cela n'est pas indispensable. En revanche, une connaissance solide de théorie des opérateurs est préférable. L'idéal est d'avoir suivi le cours fondamental précédent et/ou un cours sur les algèbres d'opérateurs.

Bibliographie

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