Cours fondamental

Espace L_p non commutatifs

G. PISIER

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Résumé

Le cours commencera par un traitement détaillé des opérateurs à trace et des opérateurs de Hilbert-Schmidt sur un espace de Hilbert. Ensuite on présentera les classes de Schatten S_p et les inégalités principales qu'elles vérifient: normabilité, convexité uniforme, inégalités de Weyl, formule de Lidskii, etc...

Cette première partie servira de modèle pour la théorie des espaces L_p non-commutatifs associés à une trace semi-finie sur une algèbre de von Neumann, qui fera l'objet de la deuxième partie.

Une partie intermédiaire sera consacrée à la méthode d'interpolation complexe entre deux espaces de Banach qui permet de décrire L_p comme « interpolé » entre L₁ et L_∞.

Parmi les exemples qui illustreront le cours, citons les multiplicateurs de Schur et leur analogue sur l'algèbre de Fourier d'un groupe discret (a priori non-commutatif) qui sera vue comme espace L₁ non-commutatif, les matrices aléatoires gaussiennes, les espaces L_p non-commutatifs associés aux relations canoniques d'anti-commutation (fermions, Clifford, systèmes de spins) et aux probabilités libres de Voiculescu.

Le cours est recommandé aux étudiants qui souhaitent approfondir la théorie des opérateurs sur un Hilbert et des C^*-algèbres ainsi que celle des algèbres de von Neumann, qui jouera un grand rôle dans le cours, et sur laquelle de nombreux rappels et compléments seront faits au fur et à mesure des besoins.

Le cours sera une excellente préparation au cours spécialisé qui suivra (Espaces L_p non-commutatifs et inégalités de martingales) qui sera orienté vers les probabilités non-commutatives.

Prérequis

Il est conseillé de connaitre les notions de base d'analyse fonctionnelle et de topologie générale sur les espaces de Banach et de Hilbert, et d'être familier de la théorie spectrale classique pour les opérateurs sur un Hilbert, e.g. décomposition spectrale d'un opérateur self-adjoint (ou bien normal) compact. L'idéal serait d'avoir suivi un cours précédent sur les algèbres d'opérateurs, comme celui d'A. Zuk à Paris VII.

Bibliographie

N.B : Des notes de cours (en anglais) seront distribuées au fur et à mesure.

• B. Simon. Trace ideals and their applications. Second edition. Mathematical Surveys and Monographs, 120. American Mathematical Society, Providence, RI, 2005. viii+150 pp.
• I. Cuculescu et A. Oprea. Non-commutative probability. Kluwer, 1994.
• A. Grothendieck. Réarrangements de fonctions et inégalités de convexité dans les algèbres de von Neumann munies d'une trace. Séminaire Bourbaki, Vol. 3, Exp. No. 113, 127–139, Soc. Math. France, Paris, 1955, Reprinted 1995.
• T. Fack and H. Kosaki. Generalized s-numbers of τ-measurable operators. Pacific J. Math. 123 (1986) 269–300.
• G. Pisier and Q. Xu. Non-commutative L_p-spaces. Handbook of the geometry of Banach spaces, Vol. 2, 1459–1517, North-Holland, Amsterdam, 2003.
• V. Peller. Hankel operators and their applications. Springer Monographs in Mathematics. Springer-Verlag, New York, 2003. xvi+784 pp.