Cours fondamental

Variétés abéliennes

M. HINDRY

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Le but du cours est de présenter les bases de la théorie des variétés abéliennes ; il fait suite au cours sur les variétés abéliennes de dimension 1 (les courbes elliptiques) sans que ce dernier soit indispensable. La première partie est essentiellement géométrique : après avoir étudié la géométrie sur les complexes, on expliquera où interviennent les variétés abéliennes en géométrie algébrique ; la deuxième partie aborde divers aspects arithmétiques. Les prérequis sont des connaissances de géométrie algébrique et de théorie algébrique des nombres.

Sommaire

1. Variétés abéliennes, tores complexes et fonctions thêta
2. Géométrie des variétés abéliennes : polarisations, endomorphismes, torsion
3. Jacobiennes, variétés d'Albanese et Picard
4. Représentation galoisienne et fonction L associées à une variété abélienne
5. Variétés abéliennes sur les corps globaux : théorème de Mordell-Weil, théorèmes de finitude
6. Modèles minimaux de Néron (construction admise)

Références

1. Mumford D. Abelian varieties. Oxford UP, 1970
2. Lange H., Birkenhake C. Complex Abelian Varieties. Springer 1992
3. Hindry M., Silverman J. Diophantine Geometry. An Introduction. Springer, 2000
4. Milne J. et Artin M., articles dans Arithmetic Geometry, éditeurs : Cornell-Silverman, Springer, 1987