Cours fondamental

Courbes elliptiques

M. HINDRY

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Le but du cours est de présenter les bases de la théorie des courbes elliptiques, principalement du point de vue de la géométrie et de l'arithmétique. On démontrera notamment les deux principaux théorèmes diophantiens classiques de Siegel (finitude des points entiers) et Mordell-Weil (génération finie du groupe des points rationnels) et on abordera quelques outils utilisés notamment dans les travaux de Wiles : courbes modulaires et représentations galoisiennes. Les prérequis sont minimaux, essentiellement un cours d'introduction aux surfaces de Riemann (vocabulaire et théorème de Riemann-Roch sur les courbes).

Sommaire

1. Géométrie des courbes elliptiques : modèle de Weierstrass, loi de groupe, différentielles, isogénies
2. Courbes elliptiques et tores complexes, courbes modulaires
3. Courbes elliptiques sur les corps finis et les corps p-adiques
4. Courbes elliptiques sur les corps globaux : hauteur de Néron-Tate, théorème de Mordell, théorème de Siegel
5. Représentation galoisienne et fonction L associées à une courbe elliptique

Références

1. Silverman J. Arithmetic of elliptic curves. Springer 1986
2. Silverman J. Advanced topics in the arithmetic of elliptic curves. Springer 1994
3. Notes de cours de Jan Nekovar. Elliptic functions and elliptic curves. http://www.math.jussieu.fr/~nekovar/co/ln/el/