Introduction à la géométrie analytique non-archimédienne

J.-F. DAT

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De quoi il s'agit

La géométrie analytique complexe est à la fois un domaine de recherche en soi et un outil puissant pour certains problèmes de « géométrie arithmétique », notamment via la notion d'uniformisation. Mais du point de vue arithmétique, C n'est qu'un corps local parmi d'autres tout aussi importants. Ainsi est survenu historiquement le besoin d'une théorie analytique sur les corps non-archimédiens, notamment les corps p-adiques.

Néanmoins une telle théorie ne peut pas être un calque naïf de la théorie complexe car, comme la topologie de ces corps est totalement discontinue, il y a beaucoup trop de fonctions « localement développables en série entière ». Actuellement, il y a essentiellement une seule théorie analytique non-archimédienne, mais plusieurs « langages » différents (Tate, Raynaud, Berkovich, Huber, Fujiwara...), chacun ayant ses avantages selon les applications envisagées.

Contenu

Dans ce cours on se propose de présenter quelques aspects de :

la « géométrie rigide » de Tate et ses liens avec la « géométrie formelle » selon Raynaud. C'est l'approche historique, donc la plus proche des préoccupations arithmétiques, mais très déconcertante du point de vue de l'« intuition géométrique ».
la théorie de Berkovich, plus récente, qui a aussi trouvé de nombreuses applications arithmétiques, mais qui présente l'avantage d'être plus proche de l'« intuition géométrique », et paraît donc le cadre naturel pour l'épanouissement de la théorie « pour elle-même » et pour le transfert des techniques de géométrie complexe classiques.

On ne s'attardera pas trop sur les fondements, très techniques, pour privilégier les exemples, notamment courbes, espaces symétriques, uniformisation. Un des résultats principaux en théorie de Berkovich est qu'un espace analytique lisse est localement simplement connexe. La preuve en général est très difficile, mais on tentera de l'expliquer dans le cas de courbes sur un corps de caractéristique résiduelle nulle. On espère aussi parvenir à expliquer pourquoi la droite projective sur C_p n'est pas simplement connexe.

Prérequis

Avoir suivi un ou des cours de géométrie algébrique. En particulier, le passage de la géométrie formelle à la géométrie analytique aura été préparé dans le cours de Géométrie Algébrique II.

Références

Bosh, S., Guntzer, U., Remmert, R: Non-Archimedean Analysis. Springer, Grundlehren Bd. 261 (1984)
Bosch, S., Lutkebohmert, W., Raynaud, M.: Formal and rigid geometry I,II,III,IV. Math. Ann. and Invent. Math.
Berkovich., Spectral Theory and Analytic Geometry over non-Archimedean Fields, Math. Surveys and Monographs, n. 33, AMS, 1990
Berkovich, Etale cohomology for non-Archimedean analytic spaces, Publ. Math. IHES 78 (1993)
De Jong, Etale fundamental groups of non-Archimedean analytic spaces, Compositio Math. (1995)