Cours spécialisé
Autour des fonctions zêta des variétés de Shimura
C. CORNUT
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Résumé
Une introduction aux variétés de Shimura, en prenant pour fil
conducteur l'étude de leur fonction zêta.
Sommaire
- Fonctions zêta, conjectures de Weil, Hasse-Weil, interprétation
cohomologique, exemples.
- Variétés de Shimura sur C : définition et
exemples.
- Variétés de Shimura sur le corps reflex
E : définition et unicité du modèle canonique;
théorie de la multiplication complexe; construction des modèles
canoniques dans le cas PEL.
- Variétés de Shimura sur O, anneau local dans
E, dans les cas de bonne réduction. Techniques de
constructions et exemples : courbes modulaires, variétés de
Siegel et variétés simples de Kottwitz.
- Variétés de Shimura sur F, corps résiduel de
O, dans les cas précédemment considérés :
théorie de Honda-Tate, modules de Dieudonné, comptage des points,
comparaison avec la formule des traces, interprétation
cohomologique.
Prérequis
Le langage des schémas en géométrie algébrique, les notions de
bases sur les variétés abéliennes (cours de M. Hindry), les notions de
bases en théorie des nombres (cours de J. Nekovar).
Bibliographie
- Deligne, Pierre. Travaux de Shimura. Séminaire Bourbaki, 23ème
année (1970/71), Exp. No. 389, pp. 123-165. Lecture Notes in Math.,
Vol. 244, Springer, Berlin, 1971.
- Milne, James. Introduction to Shimura varieties, In Harmonic
Analysis, the Trace Formula and Shimura Varieties (James Arthur,
Robert Kottwitz, Editors) AMS, 2005, (Lectures at the Summer School
held at the Fields Institute, June 2 - June 27, 2003).
- Milne, James. Points on Shimura varieties mod
p. Proc. Symp. Pure Math. 33 (1979), part 2, pp. 165-184.
- [Plus dur] Kottwitz, Robert E. Points on some Shimura varieties
over finite fields. J. Amer. Math. Soc. 5 (1992), no. 2,
pp. 373-444.