Cours fondamental

Concentration de la mesure : méthodes et exemples

D. CORDERO-ERAUSQUIN

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Généralités

Lors de l'étude de problèmes dépendant d'un grand nombre de variables, il arrive que les quantités qu'on cherche à étudier se « concentrent » autour d'une valeur moyenne. Il s'agit là d'un trait typique des phénomènes en grande dimension : certaines fonctions sont presque constantes sur un ensemble de grande mesure. Un des modèles étudié depuis longtemps est le modèle gaussien, mais les liens avec d'autres résultats classiques d'analyse sont plus récents.

Les phénomènes de concentration de la mesure sont souvent gouvernés par des inégalités géométriques (isopérimétrie) et analytiques (inégalités de Sobolev logarithmiques, trou spectral). Leur champ d'application est large, allant des problèmes asymptotiques (i.e. quand la dimension tend vers l'infini) dans l'étude des espaces vectoriels normés de dimension finie, aux probabilités, à la mécanique statistique et à la combinatoire (sélections aléatoires).

Dans ce cours, qui ne présuppose pas de connaissances particulières autre qu'une familiarité avec les techniques de base en Analyse, notamment en intégration, nous insisterons sur les outils utilisés (en particulier sur la méthode de semi-groupe) et sur de nombreux exemples.

Sommaire

1. Formes fonctionnelles de l'inégalité de Brunn-Minkowski sur Rⁿ et conséquences :
   • Inégalité de Prékopa-Leindler, lemme de Borell
   • Propriété (τ) de Maurey
   • Concentration Gaussienne
   • Exemples : l'espace de Gauss, les mesures de type gaussien, la mesure exponentielle
2. Concentration sur un espace métrique mesuré et intégrabilité des fonctions lipschitziennes
3. Comportement des moments et inégalités de Khintchine
4. Présentation de la méthode de semi-groupe
   • Exemples : semi-groupe d'Ornstein-Uhlenbeck, semi-groupes discrets et chaines de Markov
   • Applications : retour sur Brunn-Minkowski, isopérimétrie gaussienne
5. Trou spectral (inégalité de Poincaré) et inégalités de Sobolev logarithmiques
   • Exemples de générateurs markoviens (continus et discrets)
   • Applications : inégalités isopérimétriques (type gaussien ou type Cheeger)
6. Inégalités de transport
7. L'exemple du groupe symétrique
   • Méthode de martingales
   • Trou spectral pour le générateur donné par des transpositions aléatoires

Bibliographie

• M. Ledoux, The concentration of measure phenomenon, AMS, 2001.
• M. Ledoux, Spectral gap, logarithmic Sobolev constant, and geometric bounds, in Surv. Differ. Geom. IX, Int. Press, 2004.
• Sur les inégalités de Sobolev logarithmiques, SMF, 2000.
• G. Schechtman, Concentration results and applications, in Handbook of the Geometry of Banach spaces, Elsevier, 2003.
• M. Talagrand, A new look at independence, Annals of Probability 24 (1996), 1--34.
• D. Li et H. Queffélec, Introduction à l'étude des espaces de Banach, SMF, 2004.