Cours spécialisé

Géométrie algébrique réelle et géométrie tropicale : une introduction

E. BRUGALLÉ et J.-J. RISLER

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I Topologie des courbes algébriques réelles planes, projectives et lisses

1. Généralités
   • Théorème de Harnack (Nombre d'ovales d'une courbe plane)
   • Courbes séparantes
   • Exemples : courbes de degré 4 et 5
2. M-courbes
   • Construction des M-courbes de Harnack
   • Congruences d'Arnold-Rokhlin
3. Compléments
   • Théorie de Smith
   • Surfaces dans RP³
4. Méthode de Viro
   • Application des moments
   • Cartes
   • T-courbes, résultats de Itenberg

II Géométrie Tropicale

1. Algèbre tropicale
   • Hypersurfaces tropicales, exemples
   • Théorème de Puiseux
   • Théorème de Kapranov
   • Espaces projectifs tropicaux
2. Dualité tropicale
   • Polygone de Newton
   • Transformée de Legendre et dualité tropicale
   • Théorème de Bézout pour les courbes tropicales planes
3. Courbes tropicales réelles
   • Cas du plan, lien avec la méthode de Viro
   • Cas des courbes non planes
   • Constructions de noeuds algébriques réels dans RP³