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Je commencerai par introduire la notion de « géométrie » comme étant associée à une (G,X)-structure. Parmi ces géométries on trouve les géométries euclidienne, sphérique, hyperbolique, conforme, projective, affine, leurs analogues complexes, la géométrie CR, etc. Il s'agit d'en avoir une vision synthétique qui les unifie. Je m'intéresserai alors au problème de Clifford-Klein : étant donnée une géométrie, peut-on trouver une variété compacte modelée sur cette géométrie ? Je me concentrerai sur les géométries associées aux espaces symétriques et notamment à la géométrie hyperbolique. Pour ces géométries la réponse au problème de Clifford-Klein est toujours positive, et j'expliquerai pourquoi. Ces variétés géométriques compactes construites je m'interesserai à leur topologie. Je terminerai notamment par des résultats récents sur la topologie des variétés hyperboliques.
Le cours « Introduction aux groupes et algèbres de Lie » est prérequis. D'autre part, il sera profitable d'avoir suivi le cours d'introduction de « Géométrie différentielle », ainsi éventuellement que le cours fondamental sur les « Groupes et algèbres de Lie ».
Ce cours est également proposé en télé-enseignement.