Cours spécialisé
Réseaux dans les groupes de Lie
Y. BENOIST
Email : yves point benoist à math point u-psud point fr
Résumé
Un réseau est un sous-groupe discret de covolume fini. Les
prototypes de réseaux sont les sous-groupes qui, comme le sous-groupe
SL(n,Z) du groupe SL(n,R), sont construits par des méthodes
arithmétiques. D'une part, l'existence de ce volume fini permet
d'utiliser des méthodes issues des systèmes dynamiques et de la
théorie ergodique.
D'autre part, la provenance arithmétique de ces groupes est à la
source de nombreuses applications. Enfin, l'utilisation de tous les
corps locaux permet d'étendre considérablement le champ
d'applications.
Sommaire
- Structure des groupes de Lie semisimples, décomposition de
Cartan
- Exemples de réseaux
- Mélange. Théorème de Howe-Moore
- Comptage de points dans les réseaux. Théorème d'Eskin-McMullen
- Variété drapeau. Théorème de Furstenberg
- Représentation des réseaux. Théorème de superrigidité de
Margulis
- Corps locaux. Théorème d'arithméticité de Margulis
- Récurrence. Théorème de Dani-Margulis
- Théorème ergodique de Birkhoff. Entropie
- Flots unipotents, mesures invariantes, équidistribution et
fermés invariants. Théorèmes de Ratner
- Applications
Prérequis
Sans être indispensable, le Cours fondamental de N. Bergeron est
naturellement conseillé.
Bibliographie
- M. Raghunathan : Discrete subgroups of Lie groups, Springer
(1972)
- R. Zimmer : Ergodic theory and semisimple groups,Birkhauser
(1984)
- G. Margulis : Discrete subgroups of semisimple Lie groups, Springer
(1991)
- D. Witte-Morris : Ratner's theorems on unipotent flows, Chicago
LMS(2004)
- Y. Benoist: Five lectures on lattices, SMF (2007)